Transformasi Wavelet (WT)

  • 0

Transformasi Wavelet (WT)

Category : Uncategorized

Termasuk transformasi jenis ini, yang menyediakan representasi waktu-frekuensi. Terdapat juga transformasi yang lain yang memberikan informasi ini juga seperti Short Time Fourier Transform (STFT), Wigner Distribution, dll.
Kemampuan WT adalah penyediaan informasi dalam waktu dan frekuensi secara simultan, yakni representasi waktu-frekuensi dari sinyal. Bagaimana WT bekerja merupakan cerita menarik yang berbeda yang akan kita bahas.
WT merupakan teknik analisis sebagai alternatif dari STFT.
Konsep WT :
Seperti dalam filtering, kita lewatkan sinyal dalam domain waktu ke dalam filter Highpass dan Lowpass, yang memisahkan komponen frekuensi tinggi dan frekuensi rendah. Prosedur ini diulang, sehingga setiap bagian waktu dari sinyal yang berhubungan dengan frekuensi dipisahkan dari sinyal.
Contoh :
Misalkan kita mempunyai sinyal dengan frekuensi dari 0 sampai dengan 1000 Hz. Dalam stage yang pertama, kita membagi sinyal dalam 2 bagian HPF dan LPF (filter harus memenuhi beberapa kondisi tertentu yang disebut sebagai Admissibility Condition), yang menghasilkan 2 versi yang berbeda dari sinyal yang sama.

Bagian LPF : 0 – 500 Hz dan bagian kedua HPF : 500 – 1000 Hz. Kemudian salah satu bagian (biasanya bagian LPF) atau keduanya dilakukan hal yang sama yang disebut Dekomposisi.
Misalkan diperoleh : 0 – 125 Hz, 125 – 250 Hz, 250 – 500 Hz, dan 500 – 1000 Hz. Kita hanya membagi sinyal ke dalam band frekuensi yang berbeda dan diplot semuanya dalam 3D, kita akan mendapatkan komponen waktu dalam satu sumbu, komponen frekuensi dalam sumbu yang kedua, dan amplituda dalam sumbu yang ketiga.
Disini terdapat isu : “Heisenberg Uncertainty principle” yang menyatakan bahwa kita tidak mengetahui frekuensi berapa pada jarak waktu berapa, tetapi kita hanya mengetahui band frekuensi berapa pada interval waktu berapa.
Permasalahan yang ada adalah masalah Resolusi, dimana WT memberikan resolusi yang variatif, sedangkan STFT memberikan resolusi yang sama pada semua waktu.

Konsep Dasar FT dan STFT
Dengan adanya keterbatasan pada FT, maka dikembangkan STFT untuk mengatasi kekurangan FT. Masalahnya, apa yang salah dengan FT ? FT tidak dapat bekerja untuk sinyal non stasionary ( time varying). Dapatkah kita
mengasumsikan bahwa beberapa bagian dari sinyal non stasionary adalah stasionary ? Jawabannya adalah Ya.
Lihat contoh sinyal non stasionary, kita dapat mengatakan sinyal stasioanry setiap interval waktu 250 ms. Lalu bagaimana jika bagian yang kita anggap stasionary sangat kecil ? Jika terlalu kecil, maka hal ini memang terlalu kecil untuk dipertimbangkan. Walaupun jika daerah dimana sinyal dapat diasumsikan stasionary terlalu kecil, kita
dapat melihat sinyal dengan jendela yang kecil (sempit) cukup kecil sehingga bagian sinyal yang nampak dari jendela tersebut dikatakan stasionary. Metode ini disebut Short Time Fourier Transform (STFT).

Perbedaan antara FT dan STFT adalah dalam STFT sinyal dibagi ke dalam segmen yang cukup kecil dimana segmen dari sinyal sinyal dapat diasumsikan stasionary, untuk tujuan ini dipilih jendela ‘w’ yang lebarnya sama dengan segmen dari sinyal dimana sinyal cukup valid dikatakan stasionary.

Screenshot from 2015-12-13 17:27:56

Misalkan diberikan sinyal non stasionary :
Dalam sinyal, terdapat 4 komponen frekuensi yang berbeda pada waktu yang berbeda, interval 0 sampai 250 ms sinyal dengan frekuensi 300 Hz, interval 250 ms frekuensinya 200 Hz, 250 ms dengan frekuensi 100 Hz, dan 250 ms yang lainnya 50 Hz. Buatlah gambar dengan FT dan STFT untuk sinyal non stasionary tersebut !
Dari hasil STFT :
– Terdapat 4 puncak yang berhubungan dengan 4 komponen frekuensi yang berbeda.
– Tidak seperti FT, 4 puncak tersebut berada pada interval waktu yang berbeda.

Ingat : bahwa sinyal asal mempunyai 4 komponen spektral pada lokasi waktu yang berbeda . Sekarang, kita mempunyai representasi waktu-frekuensi dari sinyal yang benar, kita tidak hanya tahu berapa komponen frekuensi yang ada dalam sinyal, tetapi juga mengetahui dimana frekuensi tersebut ada dalam kawasan waktu. Benar ?
Baik, sejak STFT memberikan representasi waktu-frekuensi dari sinyal, mengapa kita perlu transformasi Wavelet (WT) ? Masalahnya dengan STFT adalah kenyataan terdapat apa yang disebut “Heisenberg Uncertainty principle” yang menyatakan, ” Orang tidak tahu representasi waktu-frekuensi yang tepat dari sinyal” Permasalahan yang ada dalam STFT adalah maslaah Resolusi, yang berkaitan dengan berapa lebar jendela yang digunakan. Jika fungsi fungsi jendela yang digunakan adalah sempit, maka dalam terminologi ini sering digunakan dalam lingkungan Wavelet.
Lihat lagi, FT, tidak terdapat masalah resolusi dalam domain frekuensi, karena kita mengetahui dengan tepat frekuensi berapa yang ada dalam sinyal. Sama halnya kita tidak mempunyai masalah dengan resolusi waktu dalam domain waktu, sejak kita mengetahui nilai dari sinyal pada setiap saat dalam waktu. Dalam FT, resolusi waktu dalam domain frekuensi sama dengan nol, demikian juga resolusi frekuensi dalam domain waktru adalah sama dengan nol, sejak kita tidak mempunyai informasi tentangnya. Apa yang membuat resolusi frekuensi yang sempurna dalam FT adalah kenyataan bahwa fungsi jendela yang digunakan dalam FT adalah kernel-nya, fungsi e ^- jwt yang akhir pada seluruh waktunya adalah – ∞ sampai dengan ∞ .
Sekarang STFT, jendel ayng digunakan adalah dengan panjang terbatas, jadi hanya meliputi sebagian dari sinyal yang menyebabkan resolusi frekuensi yang diperoleh lebih buruk. Dalam FT, fungsi kernel, mengijinkan untuk memperoleh resolusi frekuensi yang sempurna karena kernel sendiri merupakan jendela yang mempunyai panjang yang tak terbatas. Dalam STFT, jendela yang dipakai adalah dengan panjang terbatas, dan kita tidak mempunyai resolusi frelkuensi yang sempurna. Anda boleh bertanya, mengapa kita tidak membuat panjang jendela yang digunakan dalam STFT menjadi tak terhingga, seperti dalam FT untuk mendapatkan resolusi frekuensi yang sempurna ?, Baik, maka anda akan kehilangan seluruh informasi waktu, dan akhirnya anda sama halnya
menggunakan FT, daripada STFT.

Disini terdapat dilema :
Jika kita menggunakan jendela yang tak terbatas, kita mendapatkan FT, yang memberikan resolusi frekluensi yang sempurna, tetapi tanpa informasi waktu. Selanjutnya, jika kita menggunakan jendela yang sempit, maka kita peroleh resolusi waktu yang lebih baik, tetapi dengan resolusi frelkuensi yang lebih buruk.
Catatan :
Jendela sempit –> resolusi waktu baik, resolusi frekuensi jelek
Jendela lebar –> resolusi frekuensi baik, resolusi waktu jelek.

 

Facebook Comments

-- Download Transformasi Wavelet (WT) as PDF --



Leave a Reply

Archives